Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑作⊙O交AC于點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F．且BD=BF．

（1）求證：AC與⊙O相切．

（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）16π．

【解析】

試題分析：（1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據切線的判定推出即可；

（2）證△AEO∽△ACB，得出關于r的方程，求出r即可．

試題解析：（1）連接OE，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∵BD=BF，

∴∠ODE=∠F，

∴∠OED=∠F，

∴OE∥BF，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴AC與⊙O相切；

（2）由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴，

設⊙O的半徑為r，則，

解得：r=4，

∴⊙O的面積π×42=16π．