Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，DM切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DM，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)C，連接AD．

（1）求證：AD是∠BAC的平分線；

（2）連接CD，若，半徑為5，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

（1）連接OD，BD，由切線的性質(zhì)和已知條件易證OD∥AE，再由平行線的性質(zhì)和圓的半徑相等可證∠EAD=∠BAE，即AD是∠BAC的平分線；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，由圓周角定理可得CD=DB，再由勾股定理可求出BF的長(zhǎng)，易證Rt△CED≌Rt△BFD，由全等三角形的性質(zhì)可得CE=BF，問(wèn)題得解．

解：（1）連接OD，BD

∵DM切⊙O于點(diǎn)D，

∴OD⊥MD，

∵AE⊥DM，

∴OD∥AE，

∴∠ODA=∠EAD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAB，

∴∠EAD=∠BAE，

即AD是∠BAC的平分線；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∵∠EAD=∠BAE，

∴，

∴CD=BD=2，

設(shè)BF=x，則OF=5-x，

∴（2）2-x2=52-（5-x）2，

解得：x=2，

∴BF=2，

在Rt△CED和Rt△BFD中，，

∴Rt△CED≌Rt△BFD（HL），

∴CE=BF=2．