Question

【題目】如圖，已知點A、B、C在同一直線上，△ABD和△BCE都是等邊三角形．則在下列結論中：①AP=DQ，②EP=EC，③PQ=PB，④∠AOB=∠BOC=∠COE．正確的結論是 （填寫序號）．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

試題分析：易證△ABE≌△DBC，則有∠BAE=∠BDC，從而可證到△ABP≌△DBQ，則有AP=DQ，BP=BQ，由∠PBQ=60°可得△BPQ是等邊三角形，則有PQ=PB．∠BPQ=60°，從而可得∠EPB＞∠EBP，即可得到EB＞EP，即EC＞EP，由△ABE≌△DBC可得S△ABE=S△DBC，AE=DC，從而可得點B到AE、DC的距離相等，因而點B在∠AOC的角平分線上，即可得到∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．

解：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，

∴BD=BA=AD，BE=BC=EC，∠ABD=∠CBE=60°，

∵點A、B、C在同一直線上，

∴∠DBE=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°．

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC，

∴∠BAE=∠BDC．

在△ABP和△DBQ中，

，

∴△ABP≌△DBQ，

∴AP=DQ，BP=BQ．

∴①正確．

∵∠PBQ=60°，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴PQ=PB．∠BPQ=60°．

∴③正確．

∵∠EPB＞∠BPQ，∠BPQ=∠EBP=60°，

∴∠EPB＞∠EBP，

∴EB＞EP，

∴EC＞EP，

∴②不正確．

∵∠DPA=∠PDO+∠DOP，∠DPA=∠PAB+∠ABP，∠PDO=∠PAB，

∴∠DOP=∠ABP=60°，

∴∠COE=60°，∠AOC=120°．

∵△ABE≌△DBC，

∴S△ABE=S△DBC，AE=DC，

∴點B到AE、DC的距離相等，

∴點B在∠AOC的角平分線上，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，

∴∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．

∴④正確．

故答案為①③④．