Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分線，點E，F分別是邊AC， BC上的動點，AC=4，設AE=x，BF=y．

（1）若x+y=3，求四邊形CEDF的面積；

（2）當DE⊥DF時，如圖2，試探索x、y之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）S四邊形CEDF= 5；（2）x+y=4．

【解析】

（1）在圖1中，過點D作DG⊥AC于點G，DH⊥BC于點H，由∠ACB=90°、AC=BC、CD是∠ACB的角平分線可得出∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，進而可得出AD=CD=BD，根據等腰直角三角形的性質可求出DG=DH=2，利用三角形的面積結合S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF、x+y=3，即可求出四邊形CEDF的面積；

（2）由DE⊥DF、CD⊥AB可得出∠ADE=∠CDF，結合AD=CD、∠A=∠DCF=45°，即可證出△ADE≌△CDF（ASA），根據全等三角形的性質可得出AE=CF，進而可得出AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4．

（1）在圖1中，過點D作DG⊥AC于點G，DH⊥BC于點H．

∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分線，

∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，

∴AD=CD=BD．

∵在等腰直角三角形ACD中，DG⊥AC，∠A=45°，

∴DG=AG=AC=2，

同理：DH=2．

∵S△CDE=CEDG=4-x，S△CDF=CFDH=4-y，

∴S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=（4-x）+（4-y）=8-（x+y）=5；

（2）當DE⊥DF時，∠EDF=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△ADE與△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∴AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4．