Question

如圖，直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OA、OB的長分別是關于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的兩個根（OB＞OA），P是直線l上A、B兩點之間的一動點（不與A、B重合），PQ∥OB交OA于點Q．
（1）求tan∠BAO的值；
（2）若S_△PAQ=S_{四邊形OQPB}時，請確定點P在AB上的位置，并求出線段PQ的長；
（3）當點P在線段AB上運動時，在y軸上是否存在點M，使△MPQ為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、OB的長分別是關于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的兩個根，
∴OA+OB=-=14，
由已知可得，
又∵OA²+OB²=AB²，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=AB²，
即14²-8（AB+2）=AB²，
∴AB²+8AB-180=0，
∴AB=10或AB=-18（不合題意，舍去），
∴AB=10，
∴x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，
∴tan∠BAO=．

（2）∵S_△PAQ=S_{四邊形OQPB}，
∴S_△PAQ=S_△AOB，
∵PQ∥BO，
∴△PQA∽△BOA，
∴，
∴．∵AB=10，
∴AP=5，
又∵tan∠BAO=，
∴sin∠BAO=，
∴PQ=PA•sin∠BAO=．

（3）存在，
設AB的解析式是y=kx+b，
則，
解得：，
則解析式是：y=-x+8，
即4x+3y=24（*）

①當∠PQM=90°時，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此時M點與原點O重合，設Q（a，0）則P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=．
②當∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|設Q（a，0）則M（0，a），P（a，a）進而得a=

24

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．
③當∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
設Q（a，0）則M（0，a）點P坐標為（a，2a）代入（*）得a=

12

5

．
綜上所述，y軸上有三個點M₁（0，0），M₂（0，

24

7

）和M₃（0，

12

5

）滿足使△PMQ為等腰直角三角形．
分析：（1）根據勾股定理得出OA²+OB²=AB²，求出AB．然后把AB代入等式求出x的值繼而求出OA，OB的值即可；
（2）已知S_△PAQ=S_{四邊形OQPB，證明}△PQA∽△BOA利用線段比求出AB，AP的值．知道PQ=PA•sin∠BAO，即可求解．
點評：本題綜合考查了一次函數的性質以及三角函數的有關知識，難度較大．