Question

如圖①，直線AB與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．OA、OB的長度分別為a和b，且滿足a²-2ab+b²=0．
（1）判斷△AOB的形狀．
（2）如圖②，正比例函數y=kx（k＜0）的圖象與直線AB交于點Q，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的長．
（3）如圖③，E為AB上一動點，以AE為斜邊作等腰直角△ADE，P為BE的中點，連接PD、PO，試問：線段PD、PO是否存在某種確定的數量關系和位置關系？寫出你的結論并證明．

Answer 1

分析：（1）已知a²-2ab+b²=0，化簡可得a=b，然后可得△AOB為等腰直角三角形；
（2）證明△MAO≌△NOB，求出OM=BN；AM=ON；OM=BN；然后求出MN的值；
（3）本題要靠輔助線的幫助．證明與之有關的三角形全等之后方可解答．

解答：解：（1）等腰直角三角形．
∵a²-2ab+b²=0，
∴（a-b）²=0，
∴a=b，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形；

（2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△MAO和△BON中，

∠MAO=∠MOB ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON，OM=BN，
∴MN=ON-OM=AM-BN=5；

（3）PO=PD且PO⊥PD，
如圖，延長DP到點C，使DP=PC，連接CP、OD、OC、BC，

在△DEP和△CBP，

DP=PC ∠DPE=∠CPB PE=PB

．
∴△DEP≌△CBP，
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
則∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°，
又∵∠BAO=45°，∠DAE=45°，
∴∠DAO=90°，
在△OAD和△OBC，

DA=CB ∠DAO=∠CBO OA=OB

，
∴△OAD≌△OBC，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，
∴△DOC為等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD．

點評：本題中點考查的是全等三角形的判定以及一次函數的相關知識，難度中等．