Question

已知拋物線y=-x²+（k+1）+3，當(dāng)x＜1時，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x＞1時，y隨著x的增大而減�。�
（1）求k的值及拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），拋物線的頂點(diǎn)為P，試求出A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，并在下面的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線；
（3）求經(jīng)過P、A、B三點(diǎn)的圓的圓心O′的坐標(biāo)；
（4）設(shè)點(diǎn)G（0，m）是y軸的一個動點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到何處時，直線BG是⊙O′的切線并求出此時直線BG的解析式；
②若直線BG與⊙O‘相交，且另一交點(diǎn)為D，當(dāng)m滿足什么條件時，點(diǎn)D在x軸的下方．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知拋物線的對稱軸為x=1，根據(jù)對稱軸的公式即可求出k的值，也就能求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式即可求出A、B、P的坐標(biāo)．
（3）由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，因此圓心O′必在AB的垂直平分線即拋物線的對稱軸上，因此可作出拋物線的對稱軸設(shè)對稱軸與x軸和圓O′的交點(diǎn)分別為M、N．根據(jù)相交弦定理即可求出MN的長，進(jìn)而可求出圓的半徑和圓心O′的坐標(biāo)．
（4）①可先過B作圓O′的切線，交y軸于G，要求出直線BG的解析式，就必須求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，首先要求出OG的長，可設(shè)直線BO′交y軸于E，根據(jù)B，O′兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出直線BO′的解析式進(jìn)而可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，即OE的長，在直角三角形EBG中，根據(jù)射影定理即可求出OG的長，得出G點(diǎn)坐標(biāo)后，可用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式．
②根據(jù)①中G點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出本題的結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可知：

k+1

2

=1，k=1．
因此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3

（2）A（-1，0），B（3，0），P（1，4）

（3）根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知：
圓心O′在AB的垂直平分線即拋物線的對稱軸上，
設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于M，交⊙O′于N，則有：PM•MN=MA•MB，
∴4•MN=2×2，即MN=1，
因此PN=5，圓O′的半徑為2.5．
因此O′在x軸的上方，坐標(biāo)為（1，

3

2

）．

（4）①過B作⊙O′的切線交y軸于G，
設(shè)直線BO′交y軸于E，
可求得直線BO′的解析式為y=-

3

4

x+

9

4

．
因此E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

9

4

）．
∵BG是⊙O′的切線，因此BO′⊥BG，
∴BO²=EO•OG，即9=

9

4

•OG，
因此OG=4，即G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）
設(shè)直線BG的解析式為y=kx-4．由于直線過B點(diǎn)（3，0），
可得：3k-4=0，k=

4

3

．
因此直線BG的解析式為y=

4

3

x-4
②-4＜m＜0．

點(diǎn)評：本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相交弦定理、切線的判定、直線與圓的位置關(guān)系等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．