Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊三角形CDE，連接BE

（1）若點D在線段AM上時，求證:△ADC≌△BEC；

（2）當動點D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，

①當動點D在線段AM的延長線上時，求當∠ACE為多少度時，點B、D、E在一條直線上；②當動點D在直線AM上時，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①150°；②是，理由見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以∠BCE=∠ACD，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（2）①根據三角形的內角和和等邊三角形的性質即可得到結論；②分情況討論，當點D在線段AM上時，由①得：∠AOB=60°；當點D在線段AM的延長線上時，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案；當點D在線段MA的延長線上時，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，同理得出∠CAM=30°，求出∠CBE=∠CAD=150°，得出∠CBO=30°，即可得出答案．

證明：（1）如圖：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ADC和△BEC中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：①如圖③

∵△ABC與△CDE是等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

又∵線段AM為BC邊上的中線

∴根據等邊三角形三線合一的性質可得，∠CBE=∠CAD=30°；

又∵點B、D、E在一條直線上且∠E=60°，

∴∠BCE=90°，

∴∠ACE=90°+60°=150°；

②當點D在線段AM上時，如圖1所示：

由（1）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，
∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線
∴AM⊥BC，

∴∠BMO=90°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

當點D在線段AM的延長線上時，如圖2所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE=∠CAD=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

當點D在線段MA的延長線上時，如圖3所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD，

同理可得：∠CAM=30°

∴∠CBE=∠CAD=150°

∴∠CBO=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；

綜上所述，當動點D在直線AM上時，∠AOB是定值，∠AOB=60°．