Question

【題目】如圖，將一個等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE＝a，則①DC′平分∠BDE；②BC長為＋1）a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周長等于BC的長．則上述命題中正確的序號是_______．

Answer 1

【答案】③④

【解析】分析：根據等腰直角三角形的性質得到AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，根據折疊的性質得∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，則∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可計算出∠BDC′=∠DC′E﹣∠DBE=22.5°，于是可判斷DC′不平分∠BDE；易得AC=AD+DC=a+a，利用BC=AC可得到BC長為（+2）a；由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；計算△CED的周長為DE+EC+DC=a+a+a=（+2）a，則有△CED的周長等于BC的長．

詳解：∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°．∵Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，∴∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，∴△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=45°，DC=a．∵Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，∴∠BDC′=∠DC′E﹣∠DBE=22.5°，∴DC′不平分∠BDE，所以①錯誤；

∵AC=AD+DC=a+a，∴BC=AC=（a+a）=（+2）a，所以②錯誤；

∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，∴△B C′D是等腰三角形，所以③正確；

∵△CED的周長=DE+EC+DC=a+a+a=（+2）a，∴△CED的周長等于BC的長，所以④正確．

故答案為：③④．