Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A（t，0），B（t+4，0），線段AB的中點為C，若平面內存在一點P使得∠APC或者∠BPC為直角（點P不與A，B，C重合），則稱P為線段AB的直角點．

（1）當t=0時，

①在點P1（，0），P2（，），P3（，﹣）中，線段AB的直角點是　 　；

②直線y=x+b上存在四個線段AB的直角點，直接寫出b取值范圍；

（2）直線y=x+1與x，y軸交于點M，N．若線段MN上只存在兩個線段AB的直角點，直接寫出t取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①， ②或 （2）或

【解析】

（1）由線段AB的直角點定義可求解；

（2）由圓周角定理可得點P在以BC為直徑或AC為直徑的圓上，求出直線y=x+b過點C時，b的值和直線y=x+b與以BC為直徑或AC為直徑的圓相切時，b的值，即可求解．

（3）由題意可得以BC為直徑或AC為直徑的圓與線段MN的交點只有兩個，利用特殊位置可求解．

解：（1）①當t=0時，則點A（0，0），點B（4，0），

∵點C是AB中點，

∴點C（2，0），

∴AC=BC=2，

∵AP12+CP12=+≠AC2=4，

∴點P1不是線段AB的直角點；

∵AP22+CP22=+++=4=AC2=4，

∴∠AP2B=90°，

∴點P2是線段AB的直角點，

∵CP32+BP32=+++=4=BC2=4，

∴∠CP3B=90°，

∴點P3是線段AB的直角點，

故答案為：P2，P3；

②∵∠APC或者∠BPC為直角，

p>∴點P在以BC為直徑或AC為直徑的圓上，

如圖，當直線y=x+b與以AC為直徑的圓相切時，直線y=x+b與以AC為直徑的圓和以BC為直徑的圓有三個交點，即存在三個線段AB的直角點，

設切點為F，以AC為直徑的圓的圓心為E，直線y=x+b與x軸交于點H，連接EF，

∵直線y=x+b與以AC為直徑的圓相切，

∴EF⊥FH，

∵直線y=x+b與x軸所成銳角為30°，

∴EH=2EF=2，

∴點H（3，0），

∴0=×3+b，

∴b=﹣，

同理可得，當直線y=x+b與以BC為直徑的圓相切時，b=﹣，

當直線y=x+b過點C時，直線y=x+b與以AC為直徑的圓和以BC為直徑的圓有三個交點，即直線y=x+b上存在三個線段AB的直角點，

∴0=+b，

∴b=﹣，

∴當﹣＜b＜﹣或﹣＜b＜﹣時，直線y=x+b與以AC為直徑的圓和以BC為直徑的圓有四個交點，即直線y=x+b上存在四個線段AB的直角點，

（2）∵直線y=x+1與x，y軸交于點M，N，

∴點N（0，1），點M（﹣，0），

如圖，當直線y=x+1與以BC為直徑的圓相切于點F，設BC為直徑的圓的圓心為E，連接EF，此時線段MN與以AC為直徑的圓和以BC為直徑的圓有兩個交點，即線段MN上存在兩個線段AB的直角點，

∵A（t，0），B（t+4，0），點C是線段AB的中點，

∴AB=4，AC=BC=2，

∵直線y=x+1與以BC為直徑的圓相切于點F，

∴EF⊥MN，

∵∠NMB=30°，

∴ME=2EF=2，

∴點E（﹣+2，0），

∴點A（﹣﹣1，0），

∴t=﹣﹣1

當直線y=x+1與以AC為直徑的圓相切時，此時線段MN與以AC為直徑的圓和以BC為直徑的圓有3個交點，即線段MN上存在3個線段AB的直角點，

同理可求：t=1﹣，

當點A與點M重合時，此時線段MN與以AC為直徑的圓和以BC為直徑的圓有兩個交點，即線段MN上存在兩個線段AB的直角點，

∴當﹣＜t＜1﹣或t=﹣﹣1時，線段MN上只存在兩個線段AB的直角點．

【點晴】

本題考查了一次函數的綜合應用，角的計算，圓周角定理以及切線的性質；解題的關鍵是懂得點P在以BC為直徑或AC為直徑的圓上，以此來解決此題，此題綜合性較強，與切線的性質練習較大，在日常練習中應加強訓練．