Question

【題目】如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發沿向點運動，同時，動點從點出發沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，由于，而PG=3，所以當GQ最大時PQ最大，由題意可得當P、A重合時GQ最大，據此即可求出PQ的最大值；設EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，易證△FQM∽△EPM，則根據相似三角形的性質可得EM為定值2，于是BM的長度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，于是當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，最小值為DO－OH，為此只需連接DO，求出DO的長即可，可過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，構建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的長，進而可得答案．

解：連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，則PE=GF，PG=AD=3，

設FQ=t，則GF=PE=2t，GQ=3t，

在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，

∴當t最大即EP最大時，PQ最大，

由題意知：當點P、A重合時，EP最大，此時EP=2，則t=1，

∴PQ的最大值=；

設EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，

∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，

∴，

∵EF=3，

∴FM=1，ME=2，

∴，

∵∠BHM=∠BEM=90°，

∴B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，

∴，

∴當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，

連接DO，過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，則OK=BK=1，

∴NO=2，CN=1，∴DN=3，

則在Rt△DON中，，

∴DH的最小值=DO－OH=．

故答案為：，．