Question

【題目】如圖，直線y＝－x+4與x軸交于點A，與y交于點C，已知二次函數的圖象經過點A，C和點B（－1，0），

（1）求該二次函數的關系式；

（2）設該二次函數的圖象的頂點為M，求四邊形AOCM的面積；

（3）有兩個動點D、E同時從點O出發，其中點D以每秒個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當點D、E兩點相遇時，它們都停止運動，設D，E同時從點O出發t秒時，△ODE的面積為S，

①請問D，E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由；

②直接寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③在②中，當t是多少時，S有最大值，并求出這個最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）10（3）①不存在DE∥OC②當0＜t≤1時，S＝3t2；當1＜t≤2時，S＝；當2＜t≤時，S＝－；③當t＝時，S有最大值，最大值為 .

【解析】試題分析：（1）先根據直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標，然后根據A、B、C三點的坐標用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）根據拋物線的解析式可求出M點的坐標，由于四邊形OAMC不是規則的四邊形，因此可過M作x軸的垂線，將四邊形OAMC分成一個直角三角形和一個直角梯形來求解．
（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區間t的取值范圍，然后根據平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進行討論：
當E在OC上，D在OA上，即當0＜t≤1時，此時S=OEOD，由此可得出關于S，t的函數關系式；
當E在AC上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數關系式；
當E，D都在CA上時，即當2＜t＜相遇時用的時間，此時S=S△AOE-S△AOD，由此可得出S，t的函數關系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數的不同表達式．
③根據②的函數即可得出S的最大值．

試題解析：（1）對于一次函數y＝－x+4，當x＝0時，y＝4，當y＝0時，x＝3，

∴A（3，0），C（0，4），

設二次函數關系式為y＝ax2+bx+c，

把A（3，0），C（0，4），B（－1，0）代入得：

，解得： ，

∴二次函數的關系式為；

（2）由得：

∴拋物線的頂點M的坐標為（1， ），

過點M作MN⊥x軸于點N，則ON＝1，MN＝，

∵A（3，0），C（0，4），

∴OC＝4，AN＝3－1＝2，

答：四邊形AOCN的面積為10

（3）①不存在DE∥OC，

假設DE∥OC，則D在OA上，E在AC上，且1＜t＜2，

此時，OD＝，AD＝3－，CE＝4t－4，AE＝9－4t，

∵DE∥OC，∴ ，即，

解得：t＝

∵t＝＞2，∴不存在DE∥OC，

②當0＜t≤1時，S＝3t2；

當1＜t≤2時，S＝；

當2＜t≤時，S＝－；

③由S＝，得：S＝，

∵＜0，

∴當t＝時，S有最大值，最大值為 .