Question

如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求證：△BCE=△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，求AE的長．

Answer 1

（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CFD和Rt△CEB中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL）；

（2）解：∵在Rt△CFA和Rt△CEA中，
，
∴Rt△CFA≌Rt△CEA（HL），
∴AF=AE，設DF=x，
則9+x=21-x，
解得：x=6，
故AE=21-6=15．
分析：（1）首先利用角平分線的性質得出CF=CE，進而利用HL定理得出Rt△CFD≌Rt△CEB；
（2）首先得出Rt△CFA≌Rt△CEA，進而得出AF=AE，設DF=x，則9+x=21-x，求出x即可得出AE的長．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練利用HL定理得出全等三角形是解題關鍵．