Question

【題目】如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E，F分別在邊AB，CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A，D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設BE=x。

（1）當AM=時，求x的值；

（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，ΔPDM的周長是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；

（3）若AM=a,四邊形BEFC的面積為S，求S與a之間的函數表達式。

Answer 1

【答案】（1）；（2）ΔPDM的周長不變，為定值2；（3）S=

【解析】

（1）利用勾股定理構建方程，即可解決問題；（2）ΔPDM的周長不變，為定值2，連接BM，BP，過B作BH⊥MN于點H，根據折疊性質、等邊對等角、兩直線平行內錯角相等證明，得到AM=HM，AB=BH， 再證明，得到HP=CP，所以ΔPDM的周長=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2.

(3) 過F點作FQ⊥AB，連接BM，EM=BE=x，由折疊性質證明，所以AM=QE，在RtΔAEM中，由勾股定理得：，即，所以，又因為FQ⊥AB，四邊形ABCD是正方形，可得CF=BQ=BE-QE=，再根據梯形面積公式即可解答.

解:（1）由題意可知，BE=EM=x，AE=1-x，在RtΔAEM中

，解得.

（2）ΔPDM的周長不變，為定值2；

如圖1，連接BM，BP，過B作BH⊥MN于點H，

∵BE=EM

∴∠EBM=∠EMB

又∵∠EBC=∠EMN=90°

∴∠MBC=∠BMN

∵AD∥BC

∴∠AMB=∠MBC=∠BMN

在RtΔABM和RtΔHBM中

∴

∴AM=HM，AB=BH

在RtΔBHP和RtΔBCP中

∴

∴HP=CP.

又∵ΔPDM的周長=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2.

∴ΔPDM周長為定值2.

（3）如備用圖，過F點作FQ⊥AB，連接BM

由折疊可知，∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，EM=BE=x

∴∠QEF=∠EMB=∠EBM

在RtΔABM和RtΔQFE中

∴

∴AM=QE

在RtΔAEM中，

即

∴

∵FQ⊥AB，四邊形ABCD是正方形

∴CF=BQ=BE-QE=

∴

.