Question

【題目】（1）如圖（1），已知△ABC,以AB、AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接BE、CD.請你完成圖形，并證明：BE=CD;

（2）如圖（2），已知△ABC,以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接BE、CD,BE和CD有什么數量關系？說明理由；

（3）運用(1)(2)解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖（3），要測量河兩岸相對的兩點B、E的距離，已經測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=1千米，AC=AE.求BE的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BE=CD；（3）千米

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質，用邊角邊易證△CAD≌△EAB，即可得BE=CD;

（2）證法同（1），用邊角邊易證△CAD≌△EAB，可得結果；

（3）由（1）、（2）的解題經驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，利用勾股定理求出BD，由題意得到△DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD，即為BE的長.

解：（1）∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°.

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即 ∠CAD=∠EAB.

在△CAD和△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS）. ∴BE=CD

（2）BE=CD

理由同（1）：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°.∴∠CAD=∠EAB.

∵在△CAD和△EAB中：

AD=AB，∠CAD=∠EAB，AC=AE

∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD

（3）由（1）、（2）的解題經驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，連接CD，

則AD=AB=1千米，∠ABD=45°，∴千米.

連接CD，則由（2）可得BE=CD.

∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°.

在Rt△DBC中，BC=1千米，千米，

根據勾股定理得：（千米）.

∴BE=CD=千米.