Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B與∠C的角平分線交于點O，過O點作MN∥BC，分別交AB，AC于M，N．
（1）圖中等腰三角形共有______個（已知的△ABC除外）
（2）求證：△BMO是等腰三角形；
（3）求證：MN=2BM．
（4）△ABC中，AB=AC，M，N分別是AB，AC上的點，且AM=AN，O為MN的中點，則BO，CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，這個結論對嗎？請直接回答．

Answer 1

（1）△BOM，△CON，△BOC，△AMN，△ABC均為等腰三角形，
所以，除△ABC外還有4個；

（2）證明：∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠CBO=∠MOB，
∴∠MBO=∠MOB，
∴△BMO是等腰三角形；

（3）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AB-AM=AC-AN，
即BM=CN，
根據（2）△BMO是等腰三角形，
∴BM=OM，
同理可得CN=ON，
∴MN=OM+ON=BM+CN=2BM；

（4）結論不正確；
∵O為MN中點，
∴OM=ON，
又∵MN∥BC，
∴∠BMO=∠CNO，BM=CN，
在△BOM和△CON中，

OM=ON ∠BMO=∠CNO BM=CN

，
∴△BOM≌△CON（SAS），
∴∠OBM=∠OCN，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
但不能肯定∠OBM=∠OBC，
即不能確定其為角平分線．
∴此問結論不正確．