Question

【題目】如圖，在△中，高＝3，∠＝45°，＝，動點從點出發，沿方向以每秒1個單位長度的速速向終點運動，當點與點、不重合時，過點作、的平行線，與分別交于點、，將△繞的中點旋轉180°得△，設點的運動時間為秒，△與△重疊部分面積為．

（1）當＝ 秒時，點落在邊上．

（2）求與的函數關系式．

（3）當直線將△分為面積比為1:3的兩部分時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當0<1≤時，；<t<3時，S=；（3）t=或t=

【解析】

（1）由旋轉的性質可得EH=FG=3t，再根據平行線分線段成比例可得，得到方程求解即可；

（2）分0<1≤和<t<3時，結合圖形利用三角形面積計算公式即可得出函數關系；

（3）根據“直線將△分為面積比為1:3的兩部分”分兩種情況由BG：BC=1：2與BG：BC=：2時求出t的值即可．

(1)當點H落在AC邊上時，如圖1，

∵AD ⊥BC，∠B=45°

∴△ABD為等腰直角三角形，

∵FE// AB，

∴△FED為等腰直角三角形，

∴ED=FD=t，

又∵FG//AC，

∴∠FGD=∠C，

∴tan∠FGD=tan C=

∴DG=2t，

∴EG=3t

又∵△HG由△EFG旋轉得到，

FH=EG=3t， 四邊形FE GH為平行四邊形，

∴FH //BC，

∴

∴，解得，t=,

即當t=秒時，點H落在AC邊上．

故答案為：；

(2) ①當0<1≤時， 如圖2， 重疊部分圖形為A HGF，

圖2

∴

②當<t<3時， 如圖3，重疊部分圖形為四邊形MFG N，

，

,

過N作于K，

=

(3)①當BG：BC=1：2時， 如圖4，

此時KG為△ABC的中位線，S△BKG：S四邊形AKGC=1：3，

∵AD=3，∠ABD=45°，AD⊥BC

∴BD=AD=3，

∵KG//AC，

∴∠C=∠KGB，tanC=，

∴tan∠KGB =，

∴DG=2t，DC=6

∴BC=9，

∴，解得，t=；

②當BG：BC=：2時，如圖5，此時S四邊形AKGC：S△BKG=1：3，

∴，解得，t=

綜上， 當直線FG將△ABC分為面積比為1：3的兩部分時，t=或t=．