Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l．設(shè)P為對(duì)稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA=PC

（1）∠ABC的度數(shù)為
（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在著點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長(zhǎng)度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°
（2）

解：如圖1，作PD⊥y軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)E，

由題意得，拋物線的對(duì)稱軸為：x=，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（，n），

∵PA=PC，

∴PA2=PC2，

即AE2+PE2=CD2+PD2，

∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，

解得：n=，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）

（3）

解：存在點(diǎn)Q滿足題意，

∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，），

∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，

=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2

=1+m2，

∵AC2=1+m2，

∴PA2+PC2=AC2，

∴∠APC=90°，

∴△PAC是等腰直角三角形，

∵以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形，

∴由題意可得滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣m，0）或（0，m），

①如圖1，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣m，0）時(shí)，

若PQ與x軸垂直，則=﹣m，

解得：m=，PQ=，

若PQ與x軸不垂直，

則PQ2=PE2+EQ2

=（）2+（+m）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+

∵0＜m＜1，

∴當(dāng)m=時(shí)，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴當(dāng)m=，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣，0）時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小，

②如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，m）時(shí)，

若PQ與y軸垂直，則=m，

解得：m=，PQ=，

若PQ與y軸不垂直，

則PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+，

∵0＜m＜1，

∴當(dāng)m=時(shí)，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴當(dāng)m=，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，）時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小，

綜上所述：當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣，0）或（0，）時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小．

【解析】（1）令x=0，則y=﹣m，C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，﹣m），
令y=0，則x2+（1﹣m）x﹣m=0，
解得：x1=﹣1，x2=m，
∵0＜m＜1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
所以答案是：45°