Question

如圖，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）．
（1）k=______，點A的坐標為______，點B的坐標為______；
（2）設拋物線y=x²-2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在直線BC下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）設經過點A、B、C三點的圓是⊙P，請直接寫出：它的半徑長為______，圓心P的坐標為______．

Answer 1

（1）∵拋物線y=x²-2x+k經過點C（0，-3），
∴k=-3，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，當y=0時，
∴x²-2x-3=0，解得：
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
故答案為：-3，（-1，0），（3，0）

（2）∵y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），作MG⊥x軸，
∴MG=4，OG=1．
∵A（-1，0），C（0，-3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，GB=2，
∴S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_{四邊形OCMG}+S_△GMB，
=

1×3

2

+

(3+4)×1

2

+

4×2

2

=5+4
=9


（3）設D（x，x²-2x-3），
∴OH=x，DH=2x+3-x²，HB=3-x
∴S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_{四邊形OCDH}+S_△HDB，
=

3

2

+

(3+2x+3-x2)x

2

+

(3-x)(2x+3-x2)

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

∴x=

3

2

時，S_{四邊形ABDC}的最大值為

75

8

，
∴y=

9

4

-3-3=-

15

4

，
∴D（

3

2

，-

15

4

）


（4）P（1，-1），⊙P的半徑為：

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