Question

【題目】在中，分別是邊上的點，和交于點，且.

（1）如圖，求證：；

（2）如圖，過點作，交于點 ，求證；

（3）如圖，在（2）的條件下，，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據三角形內角和定理可得∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，，由且是公共角即可證明（2）根據銳角互余的關系可得，根據及外角性質可得∠CAB=∠CGA，進而可得AC=CG；（3）過點作交的延長線于點，過點分別作于點，于點，根據等腰直角三角形的性質可得進而可得AG=2MC，由∠HAB=90°，∠CAB=45°可得平分，由可得CM=CN，根據四邊形內角和及平角的定義可得，利用AAS可證明△HNC≌△CMD，即可證明CD=CH，根據已知即可證明AE=HE，根據（1）得，由可得∠AEC=∠H，可得AE=AH，進而可得，在中，可得∠B=30°，根據含30°角的直角三角形性質可知，根據面積公式可得，即可求出CM的值，進而根據可得BC的長.

（1）在中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，

在中，

且是公共角

∴∠CEF=∠CDB

即

（2），

∴∠DCB=∠ACG=90°，

∴

即

∵∠ACD+∠B=∠CAB，

∴∠GCB+∠B=∠CAB，

∵∠CGA=∠GCB+∠B，

∴∠CAB=∠CGA，

∴AC=GC

（3）如圖，過點作交的延長線于點，過點分別作于點，于點

且

∴∠CAG=∠CGA=45°，，

∴，

∴

∴

∵

∴，

∵∠CAG=45°，

∴∠CAH=∠CAG，

平分，

∵，

∴，

∵，

∴，

在四邊形中，，

∴，

∵，

∴，

又，，，

∴，

∴AE=AH，

∵，CM=CN，∠HNC=∠CMD，

∴△HNC≌△CMD，

∴CD=CH，

∵CE+CD=AE，

∴CE+CH=AE=EH

∴AE=EH=HA，

∴∠H=60°，

在中，

∴∠B=30°，

在中，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.