Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t（s）．

（1）當t為何值時，△APC為等腰三角形．
（2）當點Q在線段BC上運動時，△PBQ的面積為S（cm2），寫出S與t之間的函數關系．
（3）當點Q在線段BC上運動時，是否存在某一時刻t，使S△PBQ：S四邊形APQC=5：3？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．
（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使BQ平分∠ABC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當AP=PB時，∵∠ACB=90°，

∴CP=PA=PB，

∴t=5，

②當AC=AP時，t=8，

∴t=5s或8s時，△APC是等腰三角形

（2）解：當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H，

∵AP=xcm，

∴BP=（10﹣x）cm，BQ=2xcm，

∵△QHB∽△ACB，

∴ = ，

∴QH= xcm，

y= BPQH= （10﹣x） x=﹣ x2+8x（0＜x≤3）

（3）解：存在．∵S△PBQ：S四邊形APQC=5：3，

∴﹣ x2+8x= × ×6×8，

解得x= 或 ，

∴t= s或 s時，S△PBQ：S四邊形APQC=5：3

（4）解：存在．如圖作QH⊥AB于H．

∵∠QBC=∠QBA，QC⊥BC，QH⊥AB，

∴QC=QH=2t﹣6，AQ=14﹣2t，

∵∠A=∠A，∠AHQ=∠C=90°，

∴△AQH∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ，

∴t= s時，BQ平分∠ABC

【解析】（1）分兩種情形討論求解①當AP=PB時，可以證明CP=PA=PB，t=5，．②當AC=AP時；t=5，t=5s或8s時，△APC是等腰三角形
（2）當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H，由△QHB∽△ACB，推出 QHAC=QBAB 可得QH的長度， 根據y= 12 BPQH，列出式子即可；
（3）存在．由S△PBQ：S四邊形APQC=5：3，可得關于x的方程，解方程即可解決問題；
（4）存在．如圖作QH⊥AB于H．首先得出QC=QH=2t-6，AQ=14﹣2t，由△ AQH∽△ABC，可得 AQAB=QHBC ，從而列出方程， 解方程即可解決問題；
【考點精析】關于本題考查的三角形的面積和相似三角形的判定與性質，需要了解三角形的面積=1/2×底×高；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．