Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為平行四邊形，為坐標原點，，將平行四邊形繞點逆時針旋轉得到平行四邊形，點在的延長線上，點落在軸正半軸上．

(1)證明:是等邊三角形:

(2)平行四邊形繞點逆時針旋轉度．的對應線段為,點的對應點為

①直線與軸交于點,若為等腰三角形，求點的坐標:

②對角線在旋轉過程中設點坐標為，當點到軸的距離大于或等于時，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①P（0, ）或（0, -4）②-8≤m≤-或≤m≤12

【解析】

(1)根據A點坐標求出∠AOF=60°，再根據旋轉的特點得到AO=AF，故可求解；

（2）①設P（0,a）根據等腰三角形的性質分AP=OP和AO=OP，分別求出P點坐標即可；

②分旋轉過程中在第三象限時到軸的距離等于與旋轉到第四象限時到軸的距離等于，再求出當旋轉180°時的坐標，即可得到m的取值．

（1）如圖，過A點作AH⊥x軸，

∵

∴OH=2,AH=2

∴AO=

故AO=2OH

∴∠OAH=30°

∴∠AOF=90°-∠OAH=60°

∵旋轉

∴AO=AF

∴△AOF是等邊三角形；

（2）①設P（0,a）

∵是等腰三角形

當AP=OP時，（2-0）2+（2-a）2=a2

解得a=

∴P（0, ）

當AO=OP時，OP= AO=4

∴P（0, -4）

故為等腰三角形時，求點的坐標是（0, ）或（0, -4）；

②旋轉過程中點的對應點為，

當開始旋轉，至到軸的距離等于時，m的取值為-8≤m≤-；

當旋轉到第四象限，到軸的距離等于時，m=

當旋轉180°時，設C’的坐標為(x,y)

∵C、關于A點對稱，

∴

解得

∴（12，）

∴m的取值為≤m≤12，

綜上，當點到軸的距離大于或等于時，求的范圍是-8≤m≤-或≤m≤12．