Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、E（3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易得c=3，故設拋物線解析式為y=ax²+bx+3，根據拋物線所過的三點的坐標，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；
（2）易由頂點坐標公式得頂點坐標，根據圖形間的關系可得四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE，代入數值可得答案；
（3）根據題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，即可判斷出兩三角形相似．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點（0，3），
∴設拋物線解析式為y=ax²+bx+3（a≠0）（1分）
根據題意，得

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3（5分）；

（2）如圖，設該拋物線對稱軸是DF，連接DE、BD．過點B作BG⊥DF于點G．
由頂點坐標公式得頂點坐標為D（1，4）（2分）
設對稱軸與x軸的交點為F
∴四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE
=

1

2

AO•BO+

1

2

（BO+DF）•OF+

1

2

EF•DF
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4
=9；

（3）相似，如圖，
BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

；
∴BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

∴BD²+BE²=20，DE²=20
即：BD²+BE²=DE²，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
∴△AOB∽△DBE（2分）．

點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．