Question

【題目】已知二次函數y＝ax2＋bx＋6的圖像開口向下，與x軸交于點A（－6，0）和點B（2，0），與y軸交于點C，點P是該函數圖像上的一個動點（不與點C重合）

（1） 求二次函數的關系式；

（2）如圖1當點P是該函數圖像上一個動點且在線段的上方，若△PCA的面積為12，求點P的坐標；

（3）如圖2，該函數圖像的頂點為D，在該函數圖像上是否存在點E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在請直接寫出點E的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）（﹣2，8）或（﹣4，6）；（3） 或.

【解析】

（1）由題意設函數的表達式為：結合已知函數解析式即可求解；

（2）由點P在線段的上方，設連接 ，從而可得答案；

（3）證明為直角三角形，延長DC至D′使CD=CD′，連接AD′，過點D作DH⊥AD′，計算sin∠DAC ，sin2∠DAC=sin∠DAD′得到sin∠EAB，tan∠EAB ，利用一次函數的性質得一次函數是解析式，聯立解析式解方程組即可求解．

解：（1） 拋物線與x軸交于點A（－6，0）和點B（2，0），

設函數的表達式為：

二次函數

解得：

函數的表達式為：．

（2）如圖1所示，在的上方，

連接

設

把代入，

解得：

所以點P坐標為或

（3） 拋物線為：，為頂點，

則

延長DC至D′使CD=CD′，連接AD′，

過點D作DH⊥AD′， 則

即：

解得：

∠EAB＝2∠DAC，

①當點E在AB上方時， 則直線AE的表達式為：，

將點坐標代入上式：

直線AE的表達式為：

解得： 或 （舍去）

即點

②當點E在AB下方時，

設直線為：

將點坐標代入上式：

直線為：

解得： 或 （舍去）

綜上，點或