Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點A（-1，0），點B（-3,0），且OB=OC，

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線上，且∠POB=∠ACB，求點P的坐標；

（3）拋物線上兩點M，N，點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為m+4.點D是拋物線上M，N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E.

①求DE的最大值.

②點D關于點E的對稱點為F.當m為何值時，四邊形MDNF為矩形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P坐標為或或或；（3）①當時，最大值為4，②當或時，四邊形MDNF為矩形.

【解析】

（1）已知拋物線與x軸兩交點坐標，可設交點式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交點式即求得a=-1．

（2）由∠POB=∠ACB聯想到構造相似三角形，因為求點P坐標一般會作x軸垂線PH得Rt△POH，故可過點A在BC邊上作垂線AG，構造△ACG∽△POH．利用點A、B、C坐標求得AG、CG的長，由相似三角形對應邊成比例推出．設點P橫坐標為p，則OH與PH都能用p表示，但需按P橫縱坐標的正負性進行分類討論．得到用p表示OH與PH并代入OH=2PH計算即求得p的值，進而求點P坐標．
（3）①用m表示M、N橫縱坐標，把m當常數求直線MN的解析式．設D橫坐標為t，把x=t代入直線MN解析式得點E縱坐標，D與E縱坐標相減即得到用m、t表示的DE的長，把m當常數，對未知數t進行配方，即得到當t=m+2時，DE取得最大值．
②由矩形MDNF得MN=DF且MN與DF互相平分，所以E為MN中點，得到點D、E橫坐標為m+2．由①得d=m+2時，DE=4，所以MN=8．用兩點間距離公式用m表示MN的長，即列得方程求m的值．

解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），點B（-3，0）
∴設交點式y=a（x+1）（x+3）
∵OC=OB=3，點C在y軸負半軸
∴C（0，-3）
把點C代入拋物線解析式得：3a=-3
∴a=-1
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3

（2）如圖1，過點A作AG⊥BC于點G，過點P作PH⊥x軸于點H

∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH

∵OB=OC=3，∠BOC=90°
∴∠ABC=45°，

∴△ABG是等腰直角三角形

∴OH=2PH
設P（p，-p2-4p-3）
①當p＜-3或-1＜p＜0時，點P在點B左側或在AC之間，橫縱坐標均為負數
∴OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3
∴-p=2（p2+4p+3）

解得：

或

②當-3＜p＜-1或p＞0時，點P在AB之間或在點C右側，橫縱坐標異號
∴p=2（p2+4p+3）
解得：p1=-2，p2=-

∴P（-2，1）或

綜上所述，點P的坐標為或或或；

（3）①如圖2，

∵x=m+4時，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35
∴M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）
設直線MN解析式為y=kx+n

∴

解得：

∴直線MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3
設D（t，-t2-4t-3）（m＜t＜m+4）
∵DE∥y軸
∴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3）
∴DE=-t2-4t-3-[（-2m-8）t+m2+4m-3]=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-[t-（m+2）]2+4
∴當t=m+2時，DE的最大值為4．

②如圖3，

∵D、F關于點E對稱
∴DE=EF
∵四邊形MDNF是矩形
∴MN=DF，且MN與DF互相平分

∴DE= MN，E為MN中點

由①得當d=m+2時，DE=4
∴MN=2DE=8
∴（m+4-m）2+[-m2-12m-35-（-m2-4m-3）]2=82
解得：

∴m的值為或時，四邊形MDNF為矩形．