Question

（2008•增城市模擬）如圖，已知∠A0B=45°，P是∠A0B內一點，PO=2

2

．
（1）分別作點P關于OA、0B的對稱點P₁、P₂；（尺規組圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．）
（2）求線段P₁P₂的長度．

Answer 1

分析：（1）過點P作OA、OB的垂線，垂線上到垂足的距離等于P到垂足的距離的點就是所要求作的點P的對稱點；
（2）連接OP₁，OP₂，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OP=OP₁=OP₂，并且可以求出∠P₁OP₂=90°，然后利用勾股定理求解即可．

解答：解：（1）如圖所示，即點P₁、P₂為所求；

（2）連接OP₁，OP₂，
∵點P₁、P關于OA對稱，
∴∠P₁OA=∠POA，OP₁=OP，
同理：∠P₂OB=∠POB，OP₂=OP，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OP+∠P₂OP，
=2∠POA+2∠POB，
=2（∠POA+∠POB），
=2∠AOB，
=90°，
在Rt△P₁OP₂中，P₁P₂=

OP12+OP22

=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4．
∴線段P₁P₂的長度4．

點評：本題考查了故直線外一點作已知直線的垂線的作法，以及勾股定理的應用，是基本作圖，難度不大．