Question

如圖，△ABC內接于⊙O，過點B作⊙O的切線，交于CA的延長線于點E，∠EBC=2∠C.

(1)求證：AB=AC；(2)當=時，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值。

Answer 1

（1）證明見解析(2) ①1/2②4

（1）證明：∵BE切⊙O于點B，
∴∠ABE＝∠C。························1分
∵∠EBC＝2∠C，
即 ∠ABE＋∠ABC＝2∠C。
∴∠ABC＝∠C。
∴AB＝AC。····························2分
（2）解①如圖，連接AO，交BC于點F。

∵AB＝AC∴
∴AO⊥BC，且BF＝FC。·······················3分
∵ ∴∴…………………….….…….4分
設,，
由勾股定理，得AF==………………5分
∴……………………………6分
②在EBA和ECB中，
∵∠E=∠E, ∠EBA=∠ECB, ∴△EBA∽△ECB,
∴= ……………………………7分
∵= 
∴(※)…………………8分
由切割線定理，得
將(※)式代入上式，得…………………………9分
∵,
∴………………………………………………10分
（1）BE切⊙O于點B，根據弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求證AB=AC的問題轉化為證明∠ABC=∠C的問題．
（2）①連接AO，交BC于點F，tan∠ABE=tan∠ABF= ，轉化為求AF的問題．
②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割線定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的長