Question

（2013•思明區一模）如果一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根x₁、x₂均為正數，且滿足1＜

x1

x2

＜2（其中x₁＞x₂），那么稱這個方程有“鄰近根”．
（1）判斷方程x2-(

3

+1)x+

3

=0是否有“鄰近根”，并說明理由；
（2）已知關于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0有“鄰近根”，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先解方程x2-(

3

+1)x+

3

=0得到x₁=

3

，x₂=1，則滿足1＜

x1

x2

＜2，所以可判斷方程x2-(

3

+1)x+

3

=0有“鄰近根”；
（2）根據判別式的意義得到m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，利用求根公式解得x₁=1，x2=-

1

m

或x1=-

1

m

，x₂=1，則m＜0，然后討論：
若x₁=1，x2=-

1

m

，則

x1

x2

=

1

- 1 m

=-m，

x1

x2

是關于m的正比例函數，根據正比例函數性質得到-2＜m＜-1；
若x1=-

1

m

，x₂=1，則

x1

x2

=-

1

m

，

x1

x2

是關于m的反比例函數，根據反比例函數性質得-1＜m＜-

1

2

，最后綜合得到m的取值范圍．

解答：解：（1）方程x2-(

3

+1)x+

3

=0有“鄰近根”．理由如下：
∵x2-(

3

+1)x+

3

=0，
∴（x-1）（x-

3

）=0，
∵x₁＞x₂，
∴x₁=

3

，x₂=1，
這時x₁＞0，x₂＞0，且

x1

x2

=

3

，
∵1＜

3

＜2，
∴滿足1＜

x1

x2

＜2，
∴方程x2-(

3

+1)x+

3

=0有“鄰近根”；

（2）由已知m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，
∴x=

(m-1)± (m+1)2

2m

∴x₁=1，x2=-

1

m

或x1=-

1

m

，x₂=1，
∵一元二次方程ax²+bx+c=0有“鄰近根”，
∴x₁、x₂均為正數，
∴m＜0
若x₁=1，x2=-

1

m

，則

x1

x2

=

1

- 1 m

=-m，

x1

x2

是關于m的正比例函數，
∵-1＜0，
∴

x1

x2

隨m的增大而減小．
當1＜-m＜2時，
∴-2＜m＜-1；
若x1=-

1

m

，x₂=1，則

x1

x2

=-

1

m

，

x1

x2

是關于m的反比例函數，
∵-1＜0，
∴在第二象限，

x1

x2

隨m的增大而增大．
當1＜-

1

m

＜2時，
∴-1＜m＜-

1

2

．…（9分）
綜上，m的取值范圍是-2＜m＜-1或-1＜m＜-

1

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了解一元二次方程和正比例與反比例函數性質．