Question

如圖，半徑為2

5

的⊙O內有互相垂直的兩條弦AB，CD相交于P點，
（1）設BC的中點為F，連接FP并延長交AD于E，求證：EF⊥AD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB⊥CD，
∴∠CPB=90°，即△PBC為直角三角形，
∴∠C+∠B=90°，
∵F為BC的中點，
∴PF=CF=BF，
∴∠C=∠CPF，
又∵∠CPF=∠DPE，
∴∠C=∠DPE，
∴∠DPE+∠B=90°，
又∵∠B=∠D，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴∠PED=90°，即EF⊥AD；

（2）連接OB，OD，OP，過O作OH⊥CD，OQ⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴四邊形PHOG為矩形，
∴H、Q分別為CD、AB的中點，
∴QB=4，HD=3，
在Rt△OHD中，HD=3，OD=2

5

，
根據勾股定理得：OH=PQ=

OD2-HD2

=

11

，
在Rt△OBQ中，OB=2

5

，QB=4，
根據勾股定理得：OQ=PH=

OB2-QB2

=2，
在Rt△OPH中，PH=2，OH=

11

，
根據勾股定理得：OP=

PH2+OH2

=

15

．