Question

如圖1，直線y=-x+2與x軸、y軸分別相交于點C、D，一個含45°角的直角三角板的銳角頂點A在線段CD上滑動，滑動過程中三角板的斜邊始終經過坐標原點，∠A的另一邊與x軸的正半軸相交于點B．
（1）試探索△AOB能否為等腰三角形？若能，請求出點B的坐標；若不能，請說明理由．
（2）如圖2，若將題中“直線y=-x+2”、“∠A的另一邊與x軸的正半軸相交于點B”分別改為：“直線y=-x+t（t＞0）”、“∠A的另一邊與x軸的負半軸相交于點B”（如圖2），其他條件保持不變，請探索（1）中的問題（只考慮點A在線段CD的延長線上且不包括點D時的情況）

Answer 1

（1）由題意，把x=0代入y=-x+2，y=0代入y=-x+2，
∴點C、D的坐標分別為（2，0），（0，2），
∴OC=OD=2，CD=2

2

，∠OCD=∠ODC=45°，
當點A在線段CD上時，△AOB為等腰三角形有如下三種情況：
①OA=OB，則∠OBA=∠OAB=45°，因此∠AOB=90°，
點A與點D重合，點B與點C重合，所以點B的坐標為（2，0）；
②AB=OB，則∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD，
因此∠ABO=90°，AO=AC，
所以點B為線段的中點，點B的坐標為（1，0）；
③AB=AO，由∠CAO=∠ADO+∠AOD得：
∠BAC+45°=∠AOD+45°，
則∠BAC=∠AOD，
又∠OCD=∠ODC，
所以∠ABC=∠OAD，
因此△ABC≌△OAD，
所以AC=OD=2，BC=AD=2

2

-2，
則OB=4-2

2

，
點B的坐標為（4-2

2

，0），
綜上，在滑動過程中△AOB可為等腰三角形，點B的坐標分別為（2，0），（1，0），（4-2

2

，0）；

（2）①若OA=OB，則∠OBA=∠OAB=45°，因此∠AOB=90°，點A與點D重合，
則OB=OD=t，所以點B的坐標為（-t，0），故與題意不符；
②若AB=OB，則∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD，
因此∠ABO=90°，不成立；
③若AB=AO，則∠AOB=∠ABO=67.5°，
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°，
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD，
∴∠ABC=∠BAC=67.5°，
∴AD=OD=t，CB=CA=

2

t+t，
∴OB=CB-CO=

2

t，
∴點B的坐標為（-

2

t，0）．
綜上，在滑動過程中△AOB可為等腰三角形，點B的坐標分別為（-

2

t，0）．