Question

如圖，P是拋物線 y1=x2-6x+9對稱軸上的一個動點，在對稱軸左邊的直線x=t平行于y軸，分別與直線y₂=x、拋物線y₂交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t=

3-

3

或2

．

Answer 1

分析：根據拋物線的解析式與直線的解析分別表示出點A、B的坐標，再求出AB的長度，再根據拋物線解析式求出對稱軸，然后表示出點P到直線x=t的長度，然后根據等腰直角三角形的直角邊相等列出方程求解即可．

解答：解：根據題意，x=t時，點A的坐標為（t，t），
點B的坐標為（t，t²-6t+9），
所以，AB=|t²-6t+9-t|=|t²-7t+9|，
∵y=x²-6x+9=（x-3）²，
∴對稱軸為直線x=3，
∵點P是拋物線y=x²-6x+9對稱軸上的一個動點，
∴點P到直線x=t的距離為3-t，
∵△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，
∴|t²-7t+9|=3-t，
∴t²-7t+9=3-t或t²-7t+9=-（3-t），
整理得，t²-6t+6=0①或t²-8t+12=0②，
解方程①得t₁=3+

3

，t₂=3-

3

，
解方程②得，t₁=2，t₂=6，
∵直線x=t在對稱軸左邊，
∴t的值為3-

3

或2．
故答案為：3-

3

或2．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了一次函數圖象與二次函數圖象上點的特征，等腰直角三角形的性質，根據兩點間的距離列出絕對值方程是解題的關鍵．