Question

【題目】如圖，已知△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，∠CBD＝∠A．

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）若E為中點，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由圓周角定理和已知條件證出∠CBD+∠ABD＝90°．得出∠ABC＝90°，即可得出結論．

（2）連接AE．由圓周角定理得出∠BAD＝∠BED，由三角函數定義求出直徑AB＝20．證出AE＝BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE＝45°，由三角函數即可得出結果．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°．

∴∠A+∠ABD＝90°．

又∵∠A＝∠CBD，

∴∠CBD+∠ABD＝90°．

∴∠ABC＝90°．

∴AB⊥BC．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BC為⊙O的切線．

（2）解：連接AE．如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°．

∵∠BAD＝∠BED，

∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．

∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，

∵BD＝12，

∴AB＝20．

∵E為的中點，

∴AE＝BE．

∴△AEB是等腰直角三角形．

∴∠BAE＝45°．

∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝．