Question

【題目】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，取BC的中點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)O向x軸正半軸移動(dòng)到點(diǎn)M（2，0）時(shí)，則點(diǎn)P移動(dòng)的路線長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖所示，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，則∠DPE=90°，∠AEP=∠BDP=90°，
連接AP，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP= BC=BP，且AP⊥BC，即∠APB=90°，
∴∠APE=∠BPD，
在△AEP和△BDP中，
，
∴△AEP≌△BDP（AAS），
∴PE=PD，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是∠AOM的角平分線，
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，AB=AO=1，OC= ，
∴OP= OC= ；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，連接OP，

由△AEP≌△BDP，可得AE=BD，
設(shè)AE=BD=x，則OE=1+x，OD=2﹣x，
∵矩形ODPE中，PE=PD，
∴四邊形ODPE是正方形，
∴OD=OE，即2﹣x=1+x，
解得x= ，
∴OD=2﹣ = ，
∴等腰Rt△OPD中，OP= OD= ，
∴當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)O向x軸正半軸移動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，則點(diǎn)P移動(dòng)的路線長(zhǎng)為 ﹣ = ．
所以答案是： ．
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和角的平分線判定是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)(交于一點(diǎn))．