Question

【題目】如圖，直線l1⊥l2于點M，以l1上的點O為圓心畫圓，交l1于點A，B，交l2于點C，D，OM=4，CD=6，點E為上的動點，CE交AB于點F，AG⊥CE于點G，連接DG，AC，AD．

（1）求⊙O的半徑長；

（2）若DG∥AB，求DG的長；

（3）連接DE，是否存在常數k，使成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由；

（4）當點G在AD的右側時，請直接寫出△ADG面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）3或6；（3）存在，；（4）9

【解析】

（1）直接利用勾股定理即可求解；

（2）證得FM是△CDG的中位線，再證得△CFM∽△AFG，設參數結合比例線段即可求解；

（3）在CG上截取CH=DE，利用SAS證得△ACH≌△ADE，推出AH=AE，再根據等腰三角形三線合一的性質可證得HG=EG，從而求得答案；

（4）取AC的中點P，當PG⊥AD時，△ADG面積最大；利用勾股定理求得AD =AC的長，證得Rt△CDNRt△ADM，求得CN的長，利用三角形中位線定理求得PK的長，利用直角三角形斜邊中線的性質結合三角形面積即可求解．

(1) 連接OC，

∵AM⊥CD，

∴CM=CD，

∵CD=6，

∴CM=3

∵OM=4，

∴OC= ==5 ；

(2) ∵DG∥AB，且CM=MD，

∴CF=FG，

∴FM是△CDG的中位線，

∴DG=2FM，

∵∠CMF=∠AGF=90，

∠CFM=∠AFG，

∴△CFM∽△AFG，

∴，

∴，

設FM=，則AF=AM-FM=，

∴，

解得或3，

∴DG=3或6；

（3）存在常數k=2，理由如下：

在CG上截取CH=DE，連接AH，AE，

∵AB垂直平分CD，

∴AC=AD，

又∠ACH=∠ADE，

在△ACH和△ADE中，

，

∴△ACH≌△ADE (SAS) ，

∴AH=AE，

∵AG⊥HE，

∴HG=EG，

∴，

∴；

（4）取AC的中點P，當PG⊥AD時，△ADG面積最大；

在Rt△AMC中，∠CMA=90，CM=3，AM=OA+OM=，

∴AD =AC=，

在Rt△AGC中，∠CGA=90，P為AC中點，

∴PG =AC，

作CN⊥AD于N，

在Rt△CDN和Rt△ADM中，

∵∠CND=∠AMD=90，

∠CDN=∠ADM，

∴Rt△CDNRt△ADM，

∴，

∴，

設PG交AD于K，

∵PK⊥AD，CN⊥AD，且P為AC中點，

∴PK是△ACN的中位線，

∴PK=CN=，

∴GK=PG-PK=，

∴△ADG面積最大=．