Question

如圖，⊙O的直徑為10，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P，已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)．
（1）求證：AC•CD=PC•BC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AB弧中點(diǎn)時(shí)，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，CD⊥CP，可得∠ACB=∠PCD=90°，又由∠A與∠P是

BC

對的圓周角，由圓周角定理，可得∠A=∠P，即可判定△ABC∽△PDC，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案；
（2）首先過點(diǎn)B作BE⊥PC于E，由點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，可得∠PCB=

1

2

∠ACB=45°，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得BE，CE的長，繼而求得PE，CD的長．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A與∠P是

BC

對的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴

AC

PC

=

BC

CD

，
∴AC•CD=PC•BC；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到

AB

的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥PC于E，
∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，
∴∠PCB=

1

2

∠ACB=45°，
∴BE=CE=BC•sin45°=8×

2

2

=4

2

，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A=

BE

PE

=

BC

AC

=

4

3

，
∴PE=

3

4

BE=3

2

，
∴PC=PE+CE=7

2

，
∴CD=PC•tan∠P=

4

3

×7

2

=

28 2

3

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．