Question

如圖，已知拋物線y=ax2-

4 3

3

x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，且Rt△AOC∽Rt△COB，求△ABC的面積．

Answer 1

設拋物線y=ax2-

4 3

3

x+3與x軸的交點的坐標為A（x₁，0）、（x₂，0）．
∵當x=0時，y=3，
∴拋物線y=ax2-

4 3

3

x+3與y的交點C的坐標為（0，3）．
∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OC²=OA•OB（相似三角形的對應邊成比例），
∴OC²=x₁•x₂，即3²=

3

a

，
解得，a₁=

1

3

，或a₂=-

1

3

（不合題意，舍去），
故該拋物線的解析式為：y=

1

3

x²-

4 3

3

x+3．
令y=0，則

1

3

x²-

4 3

3

x+3=0，
解得x₁+x₂=4

3

，x₁•x₂=9，
則AB=|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

3

，
故S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．