Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB＝4，動點P從點A出發，沿AD方向以每秒1個單位的速度運動，連接BP，作點A關于直線BP的對稱點E，設點P的運動時間為t（s）．

（1）若AD＝6，P僅在邊AD運動，求當P，E，C三點在同一直線上時對應的t的值．

（2）在動點P在射線AD上運動的過程中，求使點E到直線BC的距離等于3時對應的t的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝（6﹣2）s時，P、E、C共線；（2）或4．

【解析】

（1）設AP＝t，則PD＝6﹣t，由點A、E關于直線BP對稱，得出∠APB＝∠BPE，由平行線的性質得出∠APB＝∠PBC，得出∠BPC＝∠PBC，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結果；

（2）①當點E在BC的上方，點E到BC的距離為3，作EM⊥BC于M，延長ME交AD于N，連接PE、BE，則EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四邊形ABMN是矩形，AN＝BM＝，證出△BME∽△ENP，得出，求出NP＝，即可得出結果；

②當點E在BC的下方，點E到BC的距離為3，作EH⊥AB的延長線于H，則BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE＝，證得△AHE∽△PAB，得出，即可得出結果．

解：（1）設AP＝t，則PD＝6﹣t，如圖1所示：

∵點A、E關于直線BP對稱，

∴∠APB＝∠BPE，

∵AD∥BC，

∴∠APB＝∠PBC，

∵P、E、C共線，

∴∠BPC＝∠PBC，

∴CP＝BC＝AD＝6，

在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，

即：42+（6﹣t）2＝62，

解得：t＝6﹣或6+（不合題意舍去），

∴t＝（6﹣）s時，P、E、C共線；

（2）①當點E在BC的上方，點E到BC的距離為3，作EM⊥BC于M，延長ME交AD于N，連接PE、BE，如圖2所示：

則EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四邊形ABMN是矩形，

在Rt△EBM中，AN＝BM＝，

∵點A、E關于直線BP對稱，

∴∠PEB＝∠PAB＝90°，

∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，

∴∠PEN＝∠EBM，

∴△BME∽△ENP，

∴，即，

∴NP＝，

∴t＝AP＝AN﹣NP＝；

②當點E在BC的下方，點E到BC的距離為3，作EH⊥AB的延長線于H，如圖3所示：

則BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，

在Rt△BHE中，HE＝，

∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，

∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，

∴∠HAE＝∠APB，

∴△AHE∽△PAB，

∴，即，

解得：t＝AP＝，

綜上所述，t＝或．