Question

【題目】如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．點D是BC邊上一點，連接AD，若△ABD是準互余三角形，則BD的長為_____．

Answer 1

【答案】5或

【解析】

分兩種情況畫圖說明，①根據△ABD是準互余三角形，可以證明AD是∠BAC的平分線，根據勾股定理即可求出BD的長；②可以根據△ABD是準互余三角形，證明△CAD∽△CBA，對應邊成比例即可求出CD的長，進而求出BD的長．

解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB==10．

①如圖1，

∵△ABD是準互余三角形，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴AD是∠BAC的平分線，

作DE⊥AB于點E，

則DC=DE，AE=AC=6，

設DC=DE=x，則BD=8﹣x，

BE=AB﹣AE=4，

在Rt△BDE中，根據勾股定理，得

BD2=DE2+BE2，

(8﹣x)2=x2+42，

解得x=3，

∴BD=BC﹣CD=8﹣3=5；

②如圖2，

∵△ABD是準互余三角形，

∴2∠B+∠BAD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠B，

∵∠C=∠C，

∴△CAD∽△CBA，

∴，

∴CD=，

∴BD=BC﹣CD=8﹣=．

綜上所述：BD的長為5或．

故答案為：5或．