Question

如圖，已知拋物線對稱軸為直線x=4，且與x軸交于A、B兩點（A在B左側），B點坐標為（6，0），過點B的直線與拋物線交于點C（3，）．
（1）寫出點A坐標；
（2）求拋物線解析式；
（3）在拋物線的BC段上，是否存在一點P，使得四邊形ABPC的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，同時，點N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從B向C運動，當其中一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值，△MNB為等腰三角形，寫出計算過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數的對稱性，利用點B的坐標與對稱軸求解；
（2）利用待定系數法求二次函數解析式列式計算即可得解；
（3）假設存在，根據拋物線解析式設點P的坐標為（x，-x²+6x-9），過點C作CE⊥AB于點E，過點P作PF⊥x軸于點F，則S_{四邊形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF，再根據三角形的面積公式與梯形的面積公式列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答；
（4）根據A、B的坐標求出AB的長度，根據勾股定理求出BC的值，再分①BN=MN時，過點N作ND⊥BM于點D，然后利用∠ABC的余弦列式計算即可得解，②BN=BM時，用t表示出BM、BN，列出方程計算即可得解，③BM=MN時，過點M作MH⊥BN于點H，然后利用∠ABC的余弦列式計算即可得解．
解答：解：（1）∵B點坐標為（6，0），拋物線對稱軸為直線x=4，
4×2-6=2，
∴點A的坐標為（2，0）；

（2）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y=-x²+6x-9；

（3）存在．理由如下：
如圖，設存在點P（x，-x²+6x-9），使得四邊形ABPC的面積最大，
過點C作CE⊥AB于點E，過點P作PF⊥x軸于點F，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，），
∴S_{四邊形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF
=×（3-2）×+（-x²+6x-9）×（x-3）+×（6-x）×（-x²+6x-9）
=+（x-3）+（-x²+6x-9）×（x-3）+×（6-x）×（-x²+6x-9）
=-（x²-9x+14）
=-（x-）²+，
∵3＜＜6，
∴當x=時，四邊形ABPC的面積有最大值，最大值為，
此時，-x²+6x-9=-×（）²+6×-9=，
∴點P的坐標為（，）；

（4）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=6-2=4，
∵B（6，0），C（3，），
∴BC==．
①BN=MN時，如圖，過點N作ND⊥BM于點D，則BD=MD=（4-t），
cos∠ABC==，
解得t=，
②BN=BM時，如圖，BM=4-t，BN=2t，
所以，4-t=2t，
解得t=，
③BM=MN時，如圖，過點M作MH⊥BN于點H，
則BH=BN=×2t=t，
BM=4-t，
cos∠ABC==，
解得t=，
綜上所述，當t為或或秒時，△MNB為等腰三角形．
點評：本題綜合考查了二次函數，主要利用了二次函數的對稱性，待定系數法求二次函數解析式，不規則圖形的面積的求解，二次函數的最值問題，以及等腰三角形的性質，（3）運算量比較大，計算時要認真仔細，（4）要根據等腰三角形腰的不同分情況討論．