Question

（2012•本溪）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3經過點B（-1，0）、C（3，0），交y軸于點A，將線段OB繞點O順時針旋轉90°，點B的對應點為點M，過點A的直線與x軸交于點D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH從點D開始，沿射線DA方向勻速運動，運動的速度為1個長度單位/秒，在運動過程中腰FG與直線AD始終重合，設運動時間為t秒．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形；
（3）作點A關于拋物線對稱軸的對稱點A′，直線HG與對稱軸交于點K，當t為何值時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形？請直接寫出符合條件的t值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）在直角梯形的平移過程中，四邊形MOHE可能構成矩形（如答圖1所示），或菱形（如答圖2所示）；本問有兩種情形，需要分類求解，注意不要漏解，而且需要排除正方形的情形；
（3）本問亦有兩種情形，需要分類求解．當直角梯形運動到△OAD內部的情形時，如答圖3所示；當直角梯形運動到△OAD外部的情形時，如答圖4所示．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經過點B（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，解得a=-1，b=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（2）在直角梯形EFGH運動的過程中：
①四邊形MOHE構成矩形的情形，如答圖1所示：
此時邊GH落在x軸上時，點G與點D重合．
由題意可知，EH，MO均與x軸垂直，且EH=MO=1，則此時四邊形MOHE構成矩形．此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度．
過點F作FN⊥x軸于點N，則有FN=EH=1，FN∥y軸，
∴

FN

OA

=

DN

OD

，即

1

3

=

DN

4

，解得DN=

4

3

．
在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF=

FN2+DN2

=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，
∴t=

5

3

；
②四邊形MOHE構成正方形的情形．
由答圖1可知，OH=OD-DN-HN=4-

4

3

-1=

5

3

，即OH≠MO，
所以此種情形不存在；
③四邊形MOHE構成菱形的情形，如答圖2所示：
過點F作FN⊥x軸于點N，交GH于點T，過點H作HR⊥x軸于點R．易知FN∥y軸，RN=EF=FT=1，HR=TN．
設HR=x，則FN=FT+TN=FT+HR=1+x；
∵FN∥y軸，∴

FN

OA

=

DN

OD

，即

1+x

3

=

DN

4

，解得DN=

4

3

（1+x）．
∴OR=OD-RN-DN=4-1-

4

3

（1+x）=

5

3

-

4

3

x．
若四邊形MOHE構成菱形，則OH=EH=1，
在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR²+HR²=OH²，
即：（

5

3

-

4

3

x）²+x²=1²，解得x=

4

5

，
∴FN=1+x=

9

5

，DN=

4

3

（1+x）=

12

5

．
在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF=

FN2+DN2

=

( 9 5 )2+( 12 5 )2

=3．
由此可見，四邊形MOHE構成菱形的情形存在，此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度，
∴t=3．
綜上所述，當t=

5

3

s時，四邊形MOHE構成矩形；當t=3s時，四邊形MOHE構成菱形．

（3）當t=

35

12

s或t=

95

12

s時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形．
簡答如下：（注：本題并無要求寫出解題過程，以下僅作參考）
由題意可知，AA′=2．以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形，則GK∥AA′，且GK=AA′=2．
①當直角梯形位于△OAD內部時，如答圖3所示：
過點H作HS⊥y軸于點S，由對稱軸為x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．
由SG∥x軸，得

AS

OA

=

SG

OD

，求得AS=

9

4

，∴OS=OA-AS=

3

4

，
∴FN=FT+TN=FT+OS=

7

4

，易知DN=

4

3

FN=

7

3

，
在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=

35

12

；
②當直角梯形位于△OAD外部時，如答圖4所示：
設GK與y軸交于點S，則GS=SK=1，AS=

3

4

，OS=OA+AS=

15

4

．
過點F作FN⊥x軸，交GH于點T，則FN=FT+NT=FT+OS=

19

4

．
在Rt△FGT中，FT=1，則TG=

4

3

，FG=

5

3

．
由TG∥x軸，∴

FT

FN

=

FG

DF

，解得DF=

95

12

．
由于在以上兩種情形中，直角梯形EFGH平移的距離均為線段DF的長度，則綜上所述，當t=

35

12

s或t=

95

12

s時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：本題是動線型二次函數綜合題，圖形復雜，涉及考點較多，難度很大．
（1）本題后兩問均有兩種情形，注意分類討論思想的應用，避免丟解；
（2）讀懂題意是解決第（2）問的先決條件．特殊平行四邊形包括菱形、矩形和正方形．以此為基礎，對直角梯形平移過程中的運動圖形進行認真分析，探究在何種情形下可能構成上述的特殊平行四邊形？
（3）對圖形運動過程的分析與求解是解題的要點，也是難點．復雜的運動過程為解題增加了難度，注意分清各種運動過程中的圖形形狀；
（4）在圖形計算求解過程中，既可以利用相似關系，也可以利用三角函數關系．同學們可探討不同的解題方法．