Question

如圖，點C為線段AB上任意一點（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）請你判斷△AMC與△DMP的形狀有何關系并說明理由；
（3）求證：∠APC=∠BPC．

Answer 1

分析：（1）證明∠ACE=∠DCB，根據“SAS”證明全等；
（2）由（1）得∠CAM=∠PDM，又∠AMC=∠DMP，所以兩個三角形相似；
（3）分別過C作CH⊥AE垂足為H，C作CG⊥BD垂足為G，根據△ACE≌△DCB，可得出AE=BD，然后根據S_△ACE=S_△DCB，得出CH=CG，繼而可得出結論．

解答：（1）證明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．

（2）解：△AMC∽△DMP．
理由：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
又∵∠AMC=∠DMP，
∴△AMC∽△DMP．

（3）證明：分別過C作CH⊥AE垂足為H，C作CG⊥BD垂足為G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE=BD，
∵S_△ACE=S_△DCB（全等三角形的面積相等），
∴CH=CG，
∴∠APC=∠BPC（角平分線的性質定理的逆定理）．

點評：此題考查相似（包括全等）三角形的判定和性質，綜合性較強，第三問難度較大．