Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數y=-

1

4

x2+bx+c的圖象經過點A（4，0）、C（0，2）．
（1）試求這個二次函數的解析式，并判斷點B（-2，0）是否在該函數的圖象上；
（2）設所求函數圖象的對稱軸與x軸交于點D，點E在x軸上，若以點C、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，試求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點A（4，0）、C（0，2）的坐標代入次函數y=-

1

4

x2+bx+c，即可求得拋物線的解析式，再將B（-2，0）坐標代入拋物線的解析式即可知道它是否在該函數的圖象上；
（2）先求出D 點坐標，再根據題中已知條件便可求出點E的坐標．

解答：解：（1）點A（4，0）、C（0，2）的坐標代入次函數y=-

1

4

x2+bx+c；
可得

- 1 4 ×16+4b+c=0 c=2

，
解得

b= 1 2 c=2

，
∴二次函數的解析式為y=-

1

4

x2+

1

2

x+2；
將B（-2，0）坐標代入拋物線的解析式y=-

1

4

x2+

1

2

x+2可得-

1

4

×4+

1

2

×（-2）+2=0，
點B（-2，0）在該函數的圖象上；

（2）拋物線y=-

1

4

x2+

1

2

x+2的對稱軸為x=-

b

2a

=1，
∴D點坐標為D（1，0），CD=

5

，
∵點E在x軸上，
設E點坐標為E（x，0），
由題意可知AB=4+2=6，AC=2

5

，BC=2

2

，
①當△ABC∽△CDE時，∴

AB

CD

=

BC

DE

即

6

5

=

2 2

DE

，
解得DE=

10

3

，
∵D點坐標為（1，0），
∴E點坐標為（-

10

3

+1，0）．
②當△ABC∽△CED時，

AB

CE

=

BC

ED

，即

6

CE

=

2 2

DE

，∴

6

x2+4

=

2 2

|1-x|

，
解得，x=

9± 74

7

，
∴點E的坐標為（

9+ 74

7

，0），（

9- 74

7

，0）；
③當△ABC∽△DEC時，

AB

DE

=

BC

EC

，即

6

|1-x|

=

2 2

x2+4

，
解得，x=

-2± 277

7

，∴點E的坐標為（

-2+ 277

7

，0），（

-2- 277

7

，0）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．