Question

【題目】如圖正方形的頂點是和上的動點，與交于P、Q兩點，.

（1）當時，

①求的度數；

②求以為邊長的正方形面積；

（2）當在上運動時，始終保持，連接，則面積的最小值為 （直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）①，②以為邊的正方形面積為；（2）．

【解析】

（1）根據正方形性質得出，，由此得知，然后根據AB=AQ=CP，結合等腰三角形性質以及三角形內角和定理進一步求出答案即可；

（2）首先根據勾股定理求出，由此得出，通過證明進一步得出，據此即可得出答案；

（3）延長至點，使，連接，先證明與全等，得出∠GBF=∠EBF，再證明與全等，從而得出，即當時，取得最小值，設此時，則，根據題意利用勾股定理得出，最后得出，，據此進一步求解即可.

（1）①∵四邊形為正方形，

∴，，

∴，

∵AB=AQ=CP，

∴AB=AQ=CP=BC，

∴，

同理，

∴；

②∵，，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

即，

故以為邊的正方形面積為；

（2）如圖，延長至點，使，連接，

在與中，

∵

∴

∴，，

∴，

∴∠GBF=∠EBF，

在與中，

∵

∴

∴，

在中，，

當且僅當時等號成立，此時，

設此時，則，

由得：

即

解得（舍去），

∴，，

∴面積的最小值=，

故答案為：.