Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（9，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P沿AC以每秒1個單位長度的速度由點A向點C運動，同時，點Q沿BO以每秒2個單位長度的速度由點B向點O運動，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，過點Q作QD⊥x軸，與拋物線交于點D，連接PD與BC交于點E．設點P的運動時間為t秒（t＞0）

（1）求拋物線的表達式；

（2）①直接寫出P，D兩點的坐標（用含t的代數式表示，結果需化簡）．

②在點P，Q運動的過程中，當PQ＝PD時，求t的值；

（3）點M為線段BC上一點，在點P，Q運動的過程中，當點E為PD中點時，是否存在點M使得PM+BM的值最小？若存在，請求出PM+BM的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P ，D；

；（3）存在，故PM+BM的最小值為．

【解析】

（1）把A（﹣3，0），B（9，0）兩點，代入解析式即可

（2）先求出BC的解析式①把P,Q代入解析式即可解答

②當PQ＝PD時，則DQ中點的縱坐標＝點P的縱坐標，在代入解析式即可

（3）根據點E是PQ的中點，求出點E的坐標，將其代入解析式②即可求出P，作點P關于直線BC的對稱點P′，過點P′作P′H⊥x軸、BC于點H、M，過點P作PN⊥y軸于點N，再證明△P′MC≌△PNC（AAS），即可解答

解：（1）將A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：

，解得： ，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+ x+3①；

（2）由題意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，

將點B、C（0，3）的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+3②；

①點P的坐標為（﹣3+t，t），

點Q（9﹣2t，0），將點Q的坐標代入①式并整理得：點D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；

②當PQ＝PD時，則DQ中點的縱坐標＝點P的縱坐標，

即： [（6t﹣t2）]＝t，

解得：t＝；

（3）點P的坐標為（﹣3+t，t）、點D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，

點E是PQ的中點，則點E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]，

將點E的坐標代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，

即點P（﹣，）即點P是AC的中點，

作點P關于直線BC的對稱點P′，過點P′作P′H⊥x軸、BC于點H、M，過點P作PN⊥y軸于點N，

則MH＝MB，

則此時，PM+BM＝PM+MH＝P′H為最小值，

∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，

∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，

OM＝OC＝ ＝P′H，

故PM+BM的最小值為．