Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：

(1)①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；

②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判

(2)將原題中正方形改為矩形(如圖圖6)，且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb(a≠b，k＞0)，第(1)題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．

(3)在第(2)題圖5中，連結DG、BE，且a＝3，b＝2，k＝，求BE²＋DG²的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①BG＝DE，BG⊥DE　　1分 　　②BG＝DE，BG⊥DE仍然成立　　2分 　　在圖(2)中證明如下 　　∵四邊形ABCD、四邊形ABCD都是正方形 　　∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90° 　　∴∠BCG＝∠DCE 　　∴△BCG≌△DCE(SAS)　　3分 　　∴BG＝DE　∠CBG＝∠CDE 　　又∵∠CBG＋∠BHC＝90°　∠BGC＝∠DHO 　　∴∠CDE＋∠DHO＝90°　∴∠DOH＝90° 　　∴BG⊥DE　　4分 　　(2)BG⊥DE成立，BG＝DE不成立　　6分 　　簡要說明如下 　　∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形， 　　且AB＝a，BC＝b，CG＝kb，CE＝ka(a≠b，k＞0) 　　∴＝＝，∠BCD＝∠ECG＝90° 　　∴∠BCG＝∠DCE 　　∴△BCG∽△DCE　　7分 　　∴∠CBG＝∠CDE 　　又∵∠BHC＝∠DHO　∠CBG＋∠BHC＝90° 　　∴∠CDE＋∠DHO＝90°　∴∠DOH＝90° 　　∴BG⊥DE　　8分 　　(3)∵BG⊥DE 　　∴BE2＋DG2＝OB2＋OE2＋OG2＋OD2＝BD2＋GE2 　　又∵a＝3，b＝2，k＝ 　　∴BD2＋GE2＝22＋32＋12＋()2＝ 　　∴BE2＋DG2＝　　10分