Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線BD上一點，過P點作直線MN和EF，分別平行于AB、BC，交兩組對邊于點M、N、E、F，則四邊形PFDN、PEBM都是正方形，四邊形PEAN、PMCF都是矩形，設(shè)正方形PEBM的邊長為a，正方形PFDN的邊長為b（a＜b）．
（1）用代數(shù)式分別表示正方形PEBM和正方形PFDN的面積之和以及矩形PEAN與矩形PMCF的面積之和，并判定兩個面積之和的大小．
（2）當點P在什么位置時，它們的面積之和相等？
（3）用含a、b的代數(shù)式表示S_△EMD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形及矩形的面積公式即可得出答案；
（2）當a=b時面積相等；
（3）根據(jù)直角三角形面積公式即可求解．

解答：解：（1）正方形PEBM和正方形PFDN的面積之和為：a²+b²；矩形PEAN與矩形PMCF的面積之和為：ab+ab=2ab；
a²+b²-2ab=（a-b）²＞0，∴正方形PEBM和正方形PFDN的面積之和大于矩形PEAN與矩形PMCF的面積之和；

（2）當點P在中點時，它們的面積之和相等；

（3）S_△EMD=

1

2

（a+b）²-

1

2

b（a+b）-

1

4

a²═

1

2

a²+ab+

1

2

b²-

1

2

ab-

1

2

b²-

1

4

a²=

1

4

a²+

1

2

ab．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是圍繞圖形面積展開分析．