Question

如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B. 已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.

（1）求實數a，b，k的值；
（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標. （其中點E和點A，點C和點B分別是對應點）

Answer 1

（1）k=4，，（2）（8，），或（2，）

解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.…………1分
 故雙曲線的函數表達式為.…………2分
設點B（t，），，AB所在直線的函數表達式為，
則有   解得，.…………3分
于是，直線AB與y軸的交點坐標為，…………4分
故，整理得，…………5分
解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．…………6分
因為點A，B都在拋物線（a0）上，
所以 解得  …………7分
（2）如圖，
因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D， 則點D的坐標為（，0）.
因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.…………9分
（i）將△繞點O順時針旋轉，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）.
延長到點，使得=，
這時點（8，）是符合條件的點. …………12分
（ii）作△關于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E_２（2，）是符合條件的點．
所以，點的坐標是（8，），或（2，）.        …………14分
思考：如果不寫對應，是否還有點？
（1）把點A的坐標代入可求得k的值，根據△AOB的面積求得點B坐標，把點A，B的坐標代入，可求得a，b，的值；
（2）分兩種情況（i）將△繞點O順時針旋轉，得到△，（ii）作△關于x軸的對稱圖形△，進行解答