Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線y=-x+與坐標軸分別交于點A、B，且點C在x軸負半軸上，且AB：AC=1：2．

（1）求A、C兩點的坐標；

（2）若點M從點C出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），C（-3，0）；（2）s=2-t（0≤t＜2）；s==t-2（t＞2）；(3) Q坐標為（1，2）、（1，-2）、（1，）、（-1，0）．

【解析】

（1）由直線解析式容易求出點A的坐標，由勾股定理求出AB，再求出AC、得出OC，即可得出點C的坐標；

（2）先求出∠ABC=90°，分兩種情況考慮：當M在線段BC上；當M在線段BC延長線上；表示出BM，利用三角形面積公式分別表示出S與t的函數關系式即可；

（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，分兩種情況，利用菱形的性質求出AQ的長，根據AQ與y軸平行得到Q與A橫坐標相同，求出滿足題意Q得坐標即可．

（1）對于直線y=-x+，當y=0時，-x+=0，

解得：x=1，

∴A的坐標為（1，0），

∴OA=1；

當x=0時，y=，

∴B（0，），

∴OB=；

∵∠AOB=90°，

∴AB==2，

∵AB：AC=1：2，

∴AC=4，

∴OC=3，

∴點C的坐標為（-3，0）；

（2）如圖1所示：

∵OA=1，OB=，AB=2，

∴∠ABO=30°，

同理：BC=2，∠OCB=30°，

∴∠OBC=60°，

∴∠ABC=90°，

分兩種情況考慮：①若M在線段BC上時，BC=2，CM=t，則BM=BC-CM=2-t，

此時S△ABM=BMAB=×（2-t）×2=2-t（0≤t＜2）；

②若M在BC延長線上時，BC=2，CM=t，則BM=CM-BC=t-2，

此時S△ABM=BMAB=×（t-2）×2=t-2（t＞2）；

（3）P是y軸上的點，在坐標平面內存在點Q，使以 A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，

當P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形時，

①如圖2所示：AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標相同，

此時Q坐標為（1，2）；

②如圖3所示：AP=AQ=，Q與A的橫坐標相同，

此時Q坐標為（1，）；

當P在y軸負半軸上，四邊形ABPQ為菱形時，

①如圖4所示：AQ=AB=2，且Q與A橫坐標相同，

此時Q坐標為（1，-2）；

②如圖5所示：BP垂直平分AQ，

此時Q坐標為（-1，0），

綜上所述：滿足題意Q坐標為（1，2）、（1，-2）、（1，）、（-1，0）．