Question

如圖，在直角坐標系中，以點M（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點A，交x軸的負半軸交于點B，交y軸的正半軸于點C，過點C的直線交x軸的負半軸于點D（-9，0）
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）求證：直線CD是⊙M的切線；
（3）若拋物線y=x²+bx+c經過M、A兩點，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了圓心M的坐標，即可得出OM的長，題中也告訴了圓的半徑即可得出OA的長也就能求出A點的坐標．求C點坐標就是求OC的長，可連接MC，在直角三角形OMC中用勾股定理即可求出OC的長．
（2）本題只需證MC⊥CD即可，在直角三角形OCD中，根據OD和CD的長即可求出∠CDO的度數，在直角三角形MCO中可求出∠CMO的度數，有這兩個角的度數即可求出∠DCM=90°，由此可得證．（本題方法不唯一．）
（3）將M、A的坐標代入拋物線中即可求出其解析式．

解答：（1）解：連接CM，由題意得：OM=3，OB=3，OD=9，MC=6
OA=OM+MA=3+6=9，A（9，0），
∵OC=

MC2-OM2

=

62-32

=3

3

∴C（0，3

3

）

（2）證法一：在Rt△DCO中，
∵DC=

DO2+CO2

=

92+(3 3 )2

=6

3

在△DCM中，
∵CM2+DC2=62+(6

3

)2=144，DM²=（DO+OM）²=（9+3）²=12²=144
∴CM²+DC²=DM²
∴△DCM直角三角形．
∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半徑
∴CD是⊙M的切線．
證法二：在Rt△COM中，
∵sin∠MCO=

OM

OC

=

3

6

=

1

2

∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中，
∵tan∠DCO=

DO

CO

=

9

3 3

=

3

∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半徑．
證法三：在△CMO和△DMC中
∵

CM

OM

=

6

2

=2

DM

MC

=

DO+OM

MC

=

12

6

=2
∴

CM

OM

=

DM

MC

又∵∠CMO=∠DMC△CMO∽△DMC
∴∠COM=∠DCM=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半徑．
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半徑．

（3）解：由拋物線y=x²+bx+c經過點M（3，0）和點A（9，0），
可得：

9+3b+c=0 81+9b+c=0

．
解得：

b=-12 c=27

．
∴拋物線的解析式為：y=x²-12x+27．

點評：本題考查了切線的性質、解直角三角形、二次函數解析式的確定等知識點．綜合性較強．