Question

在平面直角坐標系x、y中，過原點O及點A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設移動時間為t秒．

（1）當點P移動到點D時，求出此時t的值；

（2）當t為何值時，△PQB為直角三角形；

（3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為（t＞0）．問是否存在某一時刻t，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）2（2）當t=2或或時，△PQB為直角三角形（3）存在t=或t=2，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在上述拋物線上

【解析】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，∴∠AOC=∠OAB=90°。

∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOQ=45°。

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°。∴AO=AD=2，OD=2。

∵點P的速度為每秒個單位長度，∴t=（秒）。

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，

如圖，作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°。

∵OP=t，∴OG=PG=t。∴點P（t，t）。

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根據勾股定理可得：

。

①若∠PQB=90°，則有PQ²+BQ²=PB²，即： ，

整理得：4t²﹣8t=0，解得：t₁=0（舍去），t₂=2，∴t=2。

②若∠PBQ=90°，則有PB²+QB²=PQ²，即： ，

整理得：t²﹣10t+20=0，解得：。

∴當t=2或或時，△PQB為直角三角形。

（3）存在這樣的t值。理由如下：

將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形。

∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋轉中心坐標可表示為（t， t）。

∵點B坐標為（6，2），∴點B′的坐標為（3t﹣6，t﹣2）。

代入，得：2t²﹣13t+18=0，解得：t₁=，t₂=2。

∴存在t=或t=2，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在上述拋物線上。

（1）首先根據矩形的性質求出DO的長，進而得出t的值。

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進而利用勾股定理分別分析得出，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可。

（3）存在這樣的t值，若將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形，根據平行四邊形的性質和對稱性可求出t的值。